Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites e derivadas, que são partes da álgebra e do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes cúbicas e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso gera uma forma indeterminada . Para resolver essa indeterminação, podemos utilizar a definição de derivada.

Passo 3

Definimos a função . O limite que queremos calcular é equivalente à derivada de no ponto , ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Sabemos que . Aplicando a regra do poder para derivadas, temos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo os valores, temos:

Resposta

O limite é .

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A função Logística é definida por: ; onde e são constante positivas e dependem de cada problema em questão. Esta função é usada no estudo de crescimento populacional, propagação de epidemias, de doenças infecciosas, e na propagação de boatos ou noticias. Se a população de uma certa espécie de peixes em um tanque é dado por: ; onde denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo aproximadamente será necessário para que a população atinja 2000 peixes?
Seja . Esboce o gráfico de e calcule:
Seja , esboce o gráfico e calcule os limites: