Calcule os limites a seguir, caso existam. lim t 0 raiz[3]8+t-2t Resp: 1 / 20

Passo 1

Vamos calcular o limite lim t 0 raiz[3]8+t-2t. Esse exercício envolve o conceito de limites e derivadas, que são partes da álgebra e do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes cúbicas e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando t se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso gera uma forma indeterminada 00. Para resolver essa indeterminação, podemos utilizar a definição de derivada.

Passo 3

Definimos a função f(t) = raiz[3]8+t. O limite que queremos calcular é equivalente à derivada de f no ponto t=0, ou seja, f'(0).

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(t). Sabemos que f(t) = (8 + t)^1/3. Aplicando a regra do poder para derivadas, temos:
f'(t) = 13(8 + t)^-2/3

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto t=0:
f'(0) = 13(8)^-2/3
Sabemos que 8^1/3 = 2, então 8^-2/3 = (8^1/3)^-2 = 2^-2 = 14.

Passo 6

Substituindo os valores, temos:
f'(0) = 13 cdot 14 = 112

Resposta

O limite é 112.

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