A função Logística é definida por:
; onde
e
são constante positivas e dependem de cada problema em questão. Esta função é usada no estudo de crescimento populacional, propagação de epidemias, de doenças infecciosas, e na propagação de boatos ou noticias. Se a população de uma certa espécie de peixes em um tanque é dado por:
; onde
denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo aproximadamente será necessário para que a população atinja 2000 peixes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função logística que modela a população de peixes no tanque:
Nosso objetivo é descobrir quanto tempo
(em semanas) precisa passar para que a população alcance 2000 peixes. Vamos precisar usar um pouquinho de álgebra e entender como resolver equações envolvendo exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A função logística
nos dá a população de peixes em qualquer semana
. Queremos encontrar o valor de
quando
. Então, vamos substituir na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos isolar o denominador. Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos 2000 de ambos os lados:
Passo 5
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 6
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados. Lembra que o logaritmo natural de
é simplesmente
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor. Usando uma calculadora:
Então,
Resposta
Será necessário aproximadamente 4,89 semanas para que a população atinja 2000 peixes.
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Seja
A função
é contínua em
? Justifique.
Calcule os limites a seguir, caso existam.
Resp: 8
Calcule os limites a seguir, caso existam.
Resp: