A função Logística é definida por: ; onde e são constante positivas e dependem de cada problema em questão. Esta função é usada no estudo de crescimento populacional, propagação de epidemias, de doenças infecciosas, e na propagação de boatos ou noticias. Se a população de uma certa espécie de peixes em um tanque é dado por: ; onde denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo aproximadamente será necessário para que a população atinja 2000 peixes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função logística que modela a população de peixes no tanque:
Nosso objetivo é descobrir quanto tempo (em semanas) precisa passar para que a população alcance 2000 peixes. Vamos precisar usar um pouquinho de álgebra e entender como resolver equações envolvendo exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A função logística nos dá a população de peixes em qualquer semana . Queremos encontrar o valor de quando . Então, vamos substituir na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, vamos isolar o denominador. Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos 2000 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 6

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados. Lembra que o logaritmo natural de é simplesmente :

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor. Usando uma calculadora:
Então,

Resposta

Será necessário aproximadamente 4,89 semanas para que a população atinja 2000 peixes.

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Seja A função é contínua em ? Justifique.
Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp: 8
Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp: