integral0^1 21+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais definidas e funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções da forma e aplicar o conceito de limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. A constante 2 pode ser puxada para fora da integral, ficando assim:
2 integral0^1 11+x , dx
Isso facilita o cálculo, pois agora estamos integrando apenas .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a integral de integral 11+x , dx = ln|1+x| + C em relação a é o logaritmo natural de . Ou seja:
Onde é a constante de integração. Mas, como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de 0 a 1 sem precisar nos preocupar com .

Passo 4

Aplicando a antiderivada que encontramos, temos:
2 [ ln(1+x) ]0^1
Isso significa que devemos avaliar nos limites superiores e inferiores e depois subtrair os resultados.

Passo 5

Vamos calcular as avaliações:
Para ln(1+1) = ln(2) :
ln(1+0) = ln(1) = 0
Para :

Passo 6

Subtraindo os resultados das avaliações:
ln(2) - 0 = ln(2)
Agora, multiplicamos pelo 2 que tínhamos no início:
2 times ln(2) = 2,ln(2)

Resposta

2,ln(2)

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