Considere a função . Calcule as derivadas parciais e , no caso em que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e queremos encontrar as derivadas parciais , e quando e . Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida como uma integral definida de de até . Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. As derivadas parciais são:
O sinal negativo em vem porque está no limite inferior da integral.

Passo 3

Agora, queremos encontrar e . Para isso, usamos a regra da cadeia, já que e são funções de e .
Vamos começar com :
Sabemos que , então:
E , então:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando a mesma abordagem:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a derivada mista , que é a derivada de em relação a . Vamos derivar a expressão que encontramos para :
Derivando cada termo em relação a :
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
§
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Calcule os limites a seguir:
(g)
Calcule os limites a seguir:
(i)