Considere a função
. Calcule as derivadas parciais
e
, no caso em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e queremos encontrar as derivadas parciais
,
e
quando
e
. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida como uma integral definida de
de
até
. Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. As derivadas parciais são:
O sinal negativo em
vem porque
está no limite inferior da integral.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que
e
são funções de
e
.
Vamos começar com
:
Sabemos que
, então:
E
, então:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
usando a mesma abordagem:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
. Vamos derivar a expressão que encontramos para
:
Derivando cada termo em relação a
:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
§
§
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Calcule os limites a seguir:
(g)
(g)
Calcule os limites a seguir:
(i)
(i)