Calcule os limites a seguir, h) lim x 2 e^(x^4-16)(x^3-8)^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
limx 2 e^x^4 - 16x^3 - 8
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e limites. Vamos precisar entender como simplificar as expressões dentro da exponencial antes de calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do expoente:
x^4 - 16x^3 - 8
Notamos que e são diferençs de potências. Podemos fatorar essas expressões usando identidades algébricas.

Passo 3

Fatorando x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) :
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
E x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) pode ser fatorado mais:
Então,

Passo 4

Agora, fatoramos x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) :
x^4 - 16x^3 - 8 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Então, temos:

Passo 5

Podemos cancelar o termo comum (x + 2)(x^2 + 4)x^2 + 2x + 4 no numerador e denominador:
(2 + 2)(2^2 + 4)2^2 + 2 cdot 2 + 4 = 4 cdot 84 + 4 + 4 = 3212 = 83
Agora, substituímos nessa expressão simplificada:

Passo 6

Agora que encontramos o limite dentro do expoente, substituímos de volta na expressão original:
e^83

Resposta

e^83

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