Determine, se possível, a in R, para que exista lim x x0 f(x), sendo: f(x)=ll(x^2-4)(x-2)^-1, & x neq 2 a & , x=2 (x0=2)

Passo 1

Entendendo o Problema
A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = x^2 - 4x - 2, & se x neq 2 a, & se x = 2
Queremos encontrar um valor real para tal que o limite de quando se aproxima de 2 ( ) exista. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Simplificando a Expressão para x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Primeiro, vamos simplificar a expressão (x - 2)(x + 2)x - 2 . Notamos que o numerador (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 para x neq 2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Substituindo na função:
Para , podemos cancelar o :

Passo 3

Calculando o Limite de limx to 2 f(x) = limx to 2 (x + 2) quando 2 + 2 = 4 se Aproxima de 2
Agora que simplificamos a função para , podemos calcular o limite:
Substituindo por 2:
Então, o limite de quando se aproxima de 2 é 4.

Passo 4

Garantindo que o Limite Existe
Para que o limite de a = limx to 2 f(x) = 4 exista em , o valor da função em deve ser igual a esse limite. Ou seja:

Resposta

O valor de que faz com que o limite de quando se aproxima de 2 exista é .

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