Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite de
quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para chegar na resposta. Para isso, vamos precisar manipular logaritmos e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso ajuda a transformar a potência em multiplicação, o que facilita a aplicação da regra de L’Hôpital. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
e depois exponentiar para achar
.
Passo 3
Vamos analisar o limite de
quando
. Primeiro, sabemos que
, então:
Portanto, o limite fica:
Como
,
, então
. Isso nos dá uma forma indeterminada
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 5
Sabemos que
para qualquer constante
. No nosso caso,
, então:
Portanto:
Então,
.
Resposta
Agora, voltando ao
:
Portanto,
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Calcule os limites a seguir,
Determine, se possível,
, para que exista
, sendo:
Calcule os limites a seguir,
Calcule os limites a seguir,