Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital. A=2 e B=5
lim x 0^+[sec (A x)]^1 /(B x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite de quando se aproxima de . Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para chegar na resposta. Para isso, vamos precisar manipular logaritmos e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso ajuda a transformar a potência em multiplicação, o que facilita a aplicação da regra de L’Hôpital. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx to 0^+ [sec(2x)]^1/(5x^2) :
ln L = limx to 0^+ ln[sec(2x)]5x^2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponentiar para achar .

Passo 3

Vamos analisar o limite de ln[sec(2x)] = -ln[cos(2x)] quando ln L = limx to 0^+ -ln[cos(2x)]5x^2 . Primeiro, sabemos que , então:
Portanto, o limite fica:
Como , , então . Isso nos dá uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx[-ln(cos(2x))] = --2sin(2x)cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x) = 2tan(2x) :
Derivada do numerador:
ddx[5x^2] = 10x
Derivada do denominador:
ln L = limx to 0^+ 2tan(2x)10x = limx to 0^+ tan(2x)5x
Então, o limite se torna:

Passo 5

Sabemos que limx to 0^+ tan(2x)2x = 1 para qualquer constante limx to 0^+ tan(2x)5x = 25 times limx to 0^+ tan(2x)2x = 25 times 1 = 25 . No nosso caso, , então:
Portanto:
Então, .

Resposta

Agora, voltando ao L = e^ln L = e^2/5 :
limx to 0^+ [sec(2x)]^1/(5x^2) = e^2/5
Portanto,

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