Calcule os limites a seguir, i) lim x 1 raizx-1x-1

Passo 1

Estamos analisando o limite . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de forma a simplificar e eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz1 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão. Temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raizx - 1x - 1 times raizx + 1raizx + 1 = (raizx - 1)(raizx + 1)(x - 1)(raizx + 1) é . Vamos então multiplicar:

Passo 4

No numerador, usamos a identidade algebrica (raizx - 1)(raizx + 1) = (raizx)^2 - (1)^2 = x - 1 . Aplicando isso:
x - 1(x - 1)(raizx + 1)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, observamos que o termo x - 1(x - 1)(raizx + 1) = 1raizx + 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador, podendo ser cancelado:

Passo 6

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo limx 1 1raizx + 1 = 1raiz1 + 1 = 11 + 1 = 12 :

Resposta

O limite é igual a .

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