integral ln (x+x^2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a integral de ln(x + x^2) em relação a x, ou seja, queremos encontrar:
integral ln (x + x^2) dx
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de integração. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Note que podemos fatorar x em x + x^2:
x + x^2 = x(1 + x)
Então, a integral fica:
integral ln (x(1 + x)) dx

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(ab) = ln a + ln b, podemos separar o logaritmo:
ln (x(1 + x)) = ln x + ln(1 + x)
Portanto, a integral se torna:
integral (ln x + ln(1 + x)) dx

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral ln x , dx + integral ln(1 + x) , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos integral ln x , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
  • u = ln x du = 1x dx
  • dv = dx v = x
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C

Passo 6

Agora, vamos resolver integral ln(1 + x) , dx. Novamente, usamos a integração por partes:
  • u = ln(1 + x) du = 11 + x dx
  • dv = dx v = x
Aplicando a fórmula:
integral ln(1 + x) , dx = x ln(1 + x) - integral x cdot 11 + x dx
Simplificando a segunda integral:
integral x1 + x dx = integral (1 - 11 + x) dx = x - ln|1 + x| + C
Portanto:
integral ln(1 + x) , dx = x ln(1 + x) - (x - ln(1 + x)) + C = (1 + x) ln(1 + x) - x + C

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
integral ln(x + x^2) dx = integral ln x , dx + integral ln(1 + x) , dx = (x ln x - x) + ((1 + x) ln(1 + x) - x) + C
Simplificando:
x ln x + (1 + x) ln(1 + x) - 2x + C

Resposta

A integral de ln(x + x^2) em relação a x é:
x ln x + (1 + x) ln(1 + x) - 2x + C
onde C é a constante de integração.

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