Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a integral de em relação a , ou seja, queremos encontrar:
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de integração. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Note que podemos fatorar em :
Então, a integral fica:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos separar o logaritmo:
Portanto, a integral se torna:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 6

Agora, vamos resolver . Novamente, usamos a integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Simplificando a segunda integral:
Portanto:

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
Simplificando:

Resposta

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determinar o domínio das seguintes funções:
Calcule os limites a seguir:
(j) onde, .
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo hemisfério e o plano .
Calcule os limites a seguir
(h) ;