Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a integral de
em relação a
, ou seja, queremos encontrar:
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de integração. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Note que podemos fatorar
em
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos separar o logaritmo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 5
Primeiro, resolvemos
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
-
→ -
→
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Passo 6
Agora, vamos resolver
. Novamente, usamos a integração por partes:
-
→ -
→
Aplicando a fórmula:
Simplificando a segunda integral:
Portanto:
Passo 7
Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
Simplificando:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determinar o domínio das seguintes funções:
Calcule os limites a seguir:
(j) onde,
.
(j)
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo hemisfério
e o plano
.
Calcule os limites a seguir
(h) ;
(h)