Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma integral tripla que precisa ser calculada usando coordenadas esféricas. A matéria envolvida é cálculo multivariado, especificamente a mudança de coordenadas e o uso de coordenadas esféricas para simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas, entender o Jacobiano da transformação e identificar os limites de integração nas coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo azimutal no plano xy) e
(o ângulo polar a partir do eixo z). As conversões das coordenadas cartesianas para esféricas são dadas por:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos analisar a região de integração dada pelos limites:
Isso descreve uma região limitada por um cilindro
, um cone
e uma esfera
.
Passo 4
Como vamos usar coordenadas esféricas, precisamos expressar esses limites nessas coordenadas. A esfera já está na forma esférica, onde
. O cone
pode ser reescrito como
(ou
radianos). E o cilindro
se traduz em
, o que nos ajuda a definir o limite superior para
.
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração em coordenadas esféricas:
-
varia de a (primeiro quadrante). -
varia de a (até o cone). -
varia de a ou até , dependendo de qual limite é menor.
Passo 6
A função que vamos integrar,
, em coordenadas esféricas simplifica para
, já que
e
.
Passo 7
Então, nossa integral em coordenadas esféricas fica:
Isso simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Passo 10
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir, justificando.
Calcule os limites a seguir, justificando.
Calcule os limites a seguir, justificando.
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
e entre os
.