Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma integral tripla que precisa ser calculada usando coordenadas esféricas. A matéria envolvida é cálculo multivariado, especificamente a mudança de coordenadas e o uso de coordenadas esféricas para simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas, entender o Jacobiano da transformação e identificar os limites de integração nas coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: (a distância do ponto à origem), (o ângulo azimutal no plano xy) e (o ângulo polar a partir do eixo z). As conversões das coordenadas cartesianas para esféricas são dadas por:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos analisar a região de integração dada pelos limites:
Isso descreve uma região limitada por um cilindro , um cone e uma esfera .

Passo 4

Como vamos usar coordenadas esféricas, precisamos expressar esses limites nessas coordenadas. A esfera já está na forma esférica, onde . O cone pode ser reescrito como (ou radianos). E o cilindro se traduz em , o que nos ajuda a definir o limite superior para .

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração em coordenadas esféricas:
  • varia de a (primeiro quadrante).
  • varia de a (até o cone).
  • varia de a ou até , dependendo de qual limite é menor.

Passo 6

A função que vamos integrar, , em coordenadas esféricas simplifica para , já que e .

Passo 7

Então, nossa integral em coordenadas esféricas fica:
Isso simplifica para:

Passo 8

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Passo 10

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
Portanto, o valor da integral é .

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