Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais: integral0^3 integral0^raiz9-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz1-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma integral tripla que precisa ser calculada usando coordenadas esféricas. A matéria envolvida é cálculo multivariado, especificamente a mudança de coordenadas e o uso de coordenadas esféricas para simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas, entender o Jacobiano da transformação e identificar os limites de integração nas coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: x = r sinphi costheta, y = r sinphi sintheta, z = r cosphi (a distância do ponto à origem), dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta (o ângulo azimutal no plano xy) e (o ângulo polar a partir do eixo z). As conversões das coordenadas cartesianas para esféricas são dadas por:
O volume diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos analisar a região de integração dada pelos limites:
0 <= y <= 3, 0 <= x <= raiz9 - y^2, raizx^2 + y^2 <= z <= raiz1 - x^2 - y^2
Isso descreve uma região limitada por um cilindro , um cone e uma esfera .

Passo 4

Como vamos usar coordenadas esféricas, precisamos expressar esses limites nessas coordenadas. A esfera já está na forma esférica, onde . O cone pode ser reescrito como (ou radianos). E o cilindro se traduz em , o que nos ajuda a definir o limite superior para .

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração em coordenadas esféricas:
  • varia de a (primeiro quadrante).
  • varia de a (até o cone).
  • varia de a ou até , dependendo de qual limite é menor.

Passo 6

A função que vamos integrar, , em coordenadas esféricas simplifica para , já que e .

Passo 7

Então, nossa integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^min(1, 3sinphi) r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^1 r^5 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^5 , dr = [ r^66 ]0^1 = 16 :

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi4 = -cospi4 + cos0 = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22 :

Passo 10

Por fim, integramos em relação a integral0^pi2 dtheta = pi2 :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
16 times (1 - raiz22) times pi2 = pi12 (1 - raiz22)
Portanto, o valor da integral é .

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