Determine o volume do sólido que está dentro da esfera rho = 1 e entre os cones(phi) = pi/3 e phi = 2pi/3.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera de raio 1, representada por rho = 1, e que está entre os cones que fazem um ângulo e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula do volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o volume é calculado pela tripla integral . Precisamos determinar os limites de integração para rho, phi e theta.

Passo 3

O raio rho varia de 0 até 1, pois a esfera tem raio 1. O ângulo phi varia de pi / 3 a , conforme indicado pelos cones. O ângulo theta completa uma volta em torno do eixo z, então varia de 0 a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral:

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a rho:

Passo 6

Substituindo isso na integral, temos:

Passo 7

Agora, integramos em relação a phi:

Passo 8

Substituindo na integral, temos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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