Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
e entre os
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera de raio 1, representada por
, e que está entre os cones que fazem um ângulo
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula do volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, o volume é calculado pela tripla integral
. Precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
Passo 3
O raio
varia de 0 até 1, pois a esfera tem raio 1. O ângulo
varia de
a
, conforme indicado pelos cones. O ângulo
completa uma volta em torno do eixo z, então varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Passo 6
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Substituindo na integral, temos:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir, justificando.
Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:
Calcule os limites a seguir, justificando.
Calcule os limites a seguir, justificando.