Determine o volume do sólido que está dentro da esfera e entre os .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera de raio 1, representada por , e que está entre os cones que fazem um ângulo e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula do volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o volume é calculado pela tripla integral . Precisamos determinar os limites de integração para , e .

Passo 3

O raio varia de 0 até 1, pois a esfera tem raio 1. O ângulo varia de a , conforme indicado pelos cones. O ângulo completa uma volta em torno do eixo z, então varia de 0 a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral:

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a :

Passo 6

Substituindo isso na integral, temos:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Substituindo na integral, temos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule os limites a seguir, justificando.
Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:
Calcule os limites a seguir, justificando.
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