Calcule os limites a seguir:
lim x infty(x-1x+4)^x-2 (use o limite fundamental lim x infty(1+1 / x)^x=e )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função quando limx infty ( x - 1x + 4 )^x - 2 tende ao infinito. A função dada é:
limx infty (1 + 1x)^x = e
Vamos usar o conceito de limites de funções exponenciais, especificamente o limite fundamental:
Para resolver, precisamos manipular a expressão para que ela se assemelhe a essa forma conhecida.

Passo 2

Vamos simplificar a fração dentro do limite:
x - 1x + 4 = x + (-1)x + 4 = 1 + -5x + 4
Então, a expressão original fica:
(1 + -5x + 4)^x - 2

Passo 3

Agora, observe que quando 1 + -5x + 4 approx 1 - 5x tende ao infinito, (1 - 5x)^x - 2 é praticamente igual a (1 - 5x)^x cdot (1 - 5x)^-2 . Então podemos aproximar:
limx infty (1 - 5x)^x
A expressão se torna:
Para aplicar o limite fundamental, reescrevemos a base e o expoente:
Quando tende ao infinito, tende a 1, então focamos em:

Passo 4

Comparando com o limite fundamental, temos:
limx infty (1 + -5x)^x = e^-5

Resposta

O limite é .

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