Utilizando os três métodos apresentados em aula, bissesção, falsa posição e NewtonRaphson e com erro , apresente a raiz positiva da função e também a raiz real da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando três métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson. A ideia é achar tanto a raiz positiva quanto a raiz real da função, com um erro máximo de . Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método da Bisseção. Esse método funciona escolhendo um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . A gente divide esse intervalo ao meio e verifica em qual metade a função muda de sinal, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Vamos escolher e . Calculando:
Como , sabemos que há uma raiz entre 0 e 10.
Agora, calculamos o ponto médio:
Como é positivo, a raiz está entre 5 e 10.
Repetimos o processo até que a diferença entre e seja menor que . Após algumas iterações, encontramos que a raiz positiva é aproximadamente .

Passo 3

Agora vamos para o método da Falsa Posição. Esse método também usa um intervalo onde a função muda de sinal, mas ao invés de simplesmente pegar o ponto médio, utiliza uma fórmula para encontrar uma melhor aproximação da raiz:
Usando o mesmo intervalo inicial , calculamos:
Como é positivo, a nova intervalo é .
Repetindo esse processo até que o erro seja menor que , encontramos que a raiz positiva é aproximadamente , similar ao método da Bisseção.

Passo 4

Por último, vamos usar o método de Newton-Raphson. Esse método requer uma estimativa inicial e a derivada da função . A fórmula é:
Primeiro, calculamos a derivada:
Vamos escolher como ponto de partida.
Repetindo esse processo até que , encontramos que a raiz positiva é aproximadamente .

Resposta

A raiz positiva da função é aproximadamente tanto pelo método da Bisseção, Falsa Posição quanto pelo método de Newton-Raphson, com um erro máximo de .

Exercícios relacionados

Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação 0 possui pelo menos uma raiz real.
Encontre valores e de modo que satisfaça e .
Calcule os limites a seguir:
(use o limite fundamental )
Com a mesma função da questão anterior, utilize o método dos trapézios com seis subintervalos para calcular a integral da função no trecho de 0 a 6 , apresente a representação gráfica da área e o valor real da área.
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem da função
no ponto .

Para tanto:

a) calcule vetor gradiente ;
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva