Utilizando os três métodos apresentados em aula, bissesção, falsa posição e NewtonRaphson e com erro
, apresente a raiz positiva da função e também a raiz real da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função
usando três métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição e Newton-Raphson. A ideia é achar tanto a raiz positiva quanto a raiz real da função, com um erro máximo de
. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método da Bisseção. Esse método funciona escolhendo um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
. A gente divide esse intervalo ao meio e verifica em qual metade a função muda de sinal, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Vamos escolher
e
. Calculando:
Como
, sabemos que há uma raiz entre 0 e 10.
Agora, calculamos o ponto médio:
Como
é positivo, a raiz está entre 5 e 10.
Repetimos o processo até que a diferença entre
e
seja menor que
. Após algumas iterações, encontramos que a raiz positiva é aproximadamente
.
Passo 3
Agora vamos para o método da Falsa Posição. Esse método também usa um intervalo
onde a função muda de sinal, mas ao invés de simplesmente pegar o ponto médio, utiliza uma fórmula para encontrar uma melhor aproximação da raiz:
Usando o mesmo intervalo inicial
, calculamos:
Como
é positivo, a nova intervalo é
.
Repetindo esse processo até que o erro seja menor que
, encontramos que a raiz positiva é aproximadamente
, similar ao método da Bisseção.
Passo 4
Por último, vamos usar o método de Newton-Raphson. Esse método requer uma estimativa inicial
e a derivada da função
. A fórmula é:
Primeiro, calculamos a derivada:
Vamos escolher
como ponto de partida.
Repetindo esse processo até que
, encontramos que a raiz positiva é aproximadamente
.
Resposta
A raiz positiva da função
é aproximadamente
tanto pelo método da Bisseção, Falsa Posição quanto pelo método de Newton-Raphson, com um erro máximo de
.
Exercícios relacionados
Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
0 possui pelo menos uma raiz real.
Encontre valores e
de modo que
satisfaça
e
.
Encontre valores
Calcule os limites a seguir:
(use o limite fundamental
)
Com a mesma função da questão anterior, utilize o método dos trapézios com seis subintervalos para calcular a integral da função no trecho de 0 a 6 , apresente a representação gráfica da área e o valor real da área.
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem
e de segunda ordem
da função
no ponto
.
Para tanto:
a) calcule
vetor gradiente
;
b) escreva
b) escreva
c) determine a matriz hessiana
e) escreva