Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação e^x - 2 sen(x) = 0 possui pelo menos uma raiz real.
Encontre valores x1 e x2 de modo que p(x) = e^x - 2 sen(x) satisfaça p(x1) < 0 e p(x2) > 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem pelo menos uma raiz real. Para isso, precisamos encontrar dois valores de , chamados e , onde a função satisfaz e . O Teorema do Valor Intermediário nos dirá que, se a função é contínua nesse intervalo e muda de sinal, existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para diferentes valores de . Sabemos que é sempre positiva para qualquer valor de , e varia entre -1 e 1.
Vamos testar alguns valores de para encontrar onde é negativo e onde é positivo.

Passo 3

Vamos começar com :
Aqui, . Então, já temos que para , .

Passo 4

Agora, vamos tentar um valor negativo para . Vamos com :
Calculando cada parte:
Aqui, . Portanto, para , .

Passo 5

Agora que encontramos com e com , podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, existe pelo menos uma raiz.

Resposta

Os valores são e , de modo que e . Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação possui pelo menos uma raiz real no intervalo .

Exercícios relacionados