Considere a função definida por várias sentenças:
Pode-se dizer que a função é contínua? Em caso negativo, troque uma das sentenças de modo a tornar essa função contínua.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre funções contínuas. A função está definida por diferentes expressões, dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua em todo o seu domínio. Se não for, a gente vai ajustar uma das partes da função para que ela fique contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como verificar se uma função é contínua em determinados pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” ali. Mais tecnicamente, é contínua em se o limite de quando se aproxima de pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos são iguais a .

Passo 3

A função tem três partes definidas em diferentes intervalos de . Precisamos verificar a continuidade nos pontos onde muda a definição da função, ou seja, em e .

Passo 4

Vamos começar checando em . Para isso, encontramos o limite de quando se aproxima de pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de .
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em .
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Aqui, vemos que o limite pela esquerda é , o limite pela direita é , e o valor da função em é . Como os limites laterais são diferentes, a função tem um salto em e, portanto, não é contínua nesse ponto.

Passo 6

Para tornar a função contínua, precisamos ajustar uma das partes para que os limites coincidam. Vamos modificar a parte da função para de forma que o limite pela direita também seja .
Originalmente, para :
Queremos que:
Substituindo na expressão:
Para que o limite seja , ajustamos a constante:
Assim:

Resposta

A função não é contínua. Para torná-la contínua, substitua a expressão definida para por .

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
Considere a função
em que é um número real.
Estude o sinal de (simplifique primeiro a expressão).
Considere a função .
Obtenha as assíntotas horizontais dessa função, caso existam.
Calcule os limites a seguir:
(use o limite fundamental )