Pode-se dizer que a função é contínua? Em caso negativo, troque uma das sentenças de modo a tornar essa função contínua.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre funções contínuas. A função está definida por diferentes expressões, dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua em todo o seu domínio. Se não for, a gente vai ajustar uma das partes da função para que ela fique contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como verificar se uma função é contínua em determinados pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” ali. Mais tecnicamente, é contínua em se o limite de quando se aproxima de pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos são iguais a .
Passo 3
A função tem três partes definidas em diferentes intervalos de . Precisamos verificar a continuidade nos pontos onde muda a definição da função, ou seja, em e .
Passo 4
Vamos começar checando em limx to 12^- f(x) = limx to 12^- (2x - 1) = 2 cdot 12 - 1 = 0 . Para isso, encontramos o limite de limx to 12^+ f(x) = limx to 12^+ (2x^2 - 7x + 3) = 2 cdot (12)^2 - 7 cdot 12 + 3 = 12 - 72 + 3 = -3 + 3 = 0 quando f(12) = 2 cdot 12 - 1 = 0 se aproxima de pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de .
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função, é contínua em .
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 3^- f(x) = limx to 3^- (2x^2 - 7x + 3) = 2 cdot 9 - 21 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0 .
Limite pela esquerda ( limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ (8 - 2x) = 8 - 6 = 2 ):
Aqui, vemos que o limite pela esquerda é , o limite pela direita é , e o valor da função em é . Como os limites laterais são diferentes, a função tem um salto em e, portanto, não é contínua nesse ponto.
Passo 6
Para tornar a função contínua, precisamos ajustar uma das partes para que os limites coincidam. Vamos modificar a parte da função para f(x) = 8 - 2x de forma que o limite pela direita também seja limx to 3^+ f(x) = 0 .
Originalmente, para 8 - 2 cdot 3 = 8 - 6 = 2 :
f(x) = 8 - 2x passa a ser f(x) = 6 - 2x
Queremos que:
limx to 3^+ f(x) = 6 - 6 = 0
Substituindo na expressão:
Para que o limite seja , ajustamos a constante:
Assim:
Resposta
A função não é contínua. Para torná-la contínua, substitua a expressão definida para por .