Calcule os limites a seguir
(o) lim t +infty e^tt^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e polinomiais. Vamos usar o Teorema de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, verificamos se podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital. Quando tende a , cresce para e também cresce para . Então, temos uma forma , que permite o uso do Teorema de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada de limt +infty e^t2t em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Passo 4

Agora, avaliamos o novo limite . Novamente, temos uma forma , então podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Aplicamos o Teorema de L’Hôpital novamente:
  • Derivada de limt +infty e^t2 = +infty em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Resposta

O limite .

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