Calcule os limites a seguir,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites, funções exponenciais e a regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
na expressão:
Obtemos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital diz que se o limite
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então, o limite passa a ser:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.