Suponha que f^prime prime seja contínua em [a, b]. Verifique a identidade abaixo (sugestão: comece integrando por partes).
f(b)=f(a)+f^prime(a)(b-a)+integrala^b(b-t) f^prime prime(t) d t

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função que é duas vezes diferenciável e sua segunda derivada é contínua no intervalo . O objetivo é verificar uma identidade que relaciona , , a derivada primeira e uma integral envolvendo . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
A ideia é escolher partes da nossa integral para serem e de forma que a integral resultante fique mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes na integral u = b - t e dv = f''(t) , dt . Vamos escolher:
du = -dt e v = f'(t)
Então, precisamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integrala^b (b - t) f''(t) , dt = (b - t) f'(t) |a^b - integrala^b f'(t) (-1) , dt
Simplificando os sinais:
= (b - t) f'(t) |a^b + integrala^b f'(t) , dt

Passo 5

Vamos calcular a parte de = (b - b) f'(b) - (b - a) f'(a) = 0 - (b - a) f'(a) = - (b - a) f'(a) :
integrala^b f'(t) , dt = f(b) - f(a)
Agora, a integral restante é:

Passo 6

Juntando tudo:
integrala^b (b - t) f''(t) , dt = - (b - a) f'(a) + (f(b) - f(a))
Rearranjando os termos:
f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + integrala^b (b - t) f''(t) , dt

Resposta

Portanto, mostramos que:
f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + integrala^b (b - t) f''(t) , dt

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