Suponha que seja contínua em . Verifique a identidade abaixo (sugestão: comece integrando por partes).
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função que é duas vezes diferenciável e sua segunda derivada é contínua no intervalo . O objetivo é verificar uma identidade que relaciona , , a derivada primeira e uma integral envolvendo . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, lembra como funciona a integração por partes. A fórmula é:
A ideia é escolher partes da nossa integral para serem e de forma que a integral resultante fique mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes na integral . Vamos escolher:
Então, precisamos calcular e :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando os sinais:
= (b - t) f'(t) |a^b + integrala^b f'(t) , dt
Passo 5
Vamos calcular a parte de = (b - b) f'(b) - (b - a) f'(a) = 0 - (b - a) f'(a) = - (b - a) f'(a) :