Determine, se possível,
, para que exista
, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um valor real
tal que o limite de
quando
se aproxima de 2 exista. A função
está definida de duas formas: uma para
e outra para
. Vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a parte da função onde
:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador.
Passo 3
O numerador
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado assim:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, podemos simplificar
cancelando o termo
no numerador e no denominador, desde que
:
Passo 5
Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando
se aproxima de 2:
Então, o limite existe e é igual a 4.
Passo 6
Agora, para que o limite exista em
, a função deve estar definida de forma que
seja igual a esse limite. Isso significa que o valor de
deve ser igual a 4.
Resposta
O valor de
que faz o limite existir é
.