Determine, se possível, a in R, para que exista lim x x0 f(x), sendo: f(x)=ll(x^2-4)(x-2)^-1, & x neq 2 a & , x=2 (xo=2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um valor real tal que o limite de quando se aproxima de 2 exista. A função está definida de duas formas: uma para e outra para . Vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a parte da função onde f(x) = x^2 - 4x - 2 :
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador.

Passo 3

O numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado assim:
f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, podemos simplificar f(x) = x + 2 para x neq 2 cancelando o termo no numerador e no denominador, desde que :

Passo 5

Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando limx to 2 f(x) = limx to 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4 se aproxima de 2:
Então, o limite existe e é igual a 4.

Passo 6

Agora, para que o limite exista em , a função deve estar definida de forma que seja igual a esse limite. Isso significa que o valor de deve ser igual a 4.

Resposta

O valor de que faz o limite existir é .

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