Calcule os limites a seguir: lim x 0 raiz1+x+x^2-1x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções envolvendo raízes. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e facilitar o cálculo desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o numerador . Uma técnica útil aqui é a racionalização, que consiste em eliminar a raiz do numerador multiplicando por uma expressão conjugada.

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada raiz1+x+x^2 - 1x times raiz1+x+x^2 + 1raiz1+x+x^2 + 1 :

Passo 4

No numerador, aplicamos a identidade (raiz1+x+x^2)^2 - 1^2 = (1 + x + x^2) - 1 = x + x^2 :
x + x^2x (raiz1+x+x^2 + 1)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar o termo x(1 + x)x (raiz1+x+x^2 + 1) = 1 + xraiz1+x+x^2 + 1 do numerador e denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora substituímos 1 + 0raiz1+0+0^2 + 1 = 1raiz1 + 1 = 11 + 1 = 12 :

Resposta

O limite é .

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