Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas abaixo
a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se, na função de produção de Cobb-Douglas que você forneceu, a produção dobra quando tanto o trabalho (L) quanto o capital (K) são dobrados. Além disso, queremos saber se isso também acontece para uma função de produção genérica do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de produção de Cobb-Douglas. Ela é usada na economia para representar a relação entre os insumos (como trabalho e capital) e a produção. A função geral é:
Aqui,
é a produtividade total dos fatores,
é a quantidade de trabalho,
é a quantidade de capital, e
é o parâmetro que indica a elasticidade da produção em relação ao trabalho.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função específica que você deu:
Queremos ver o que acontece com
quando dobramos
e
. Ou seja, substituímos
por
e
por
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos expoentes. Sabemos que
. Então:
Juntando os termos com 2:
Passo 5
Agora, percebemos que
é simplesmente o dobro da produção original
:
Isso mostra que, na função específica que você forneceu, dobrar
e
realmente dobra a produção.
Passo 6
Vamos agora verificar para a função genérica
. Aplicando o mesmo raciocínio:
Usando propriedades dos expoentes:
Juntando os termos com 2:
Resposta
Sim, para ambas as funções de produção de Cobb-Douglas fornecidas, dobrar as quantidades de trabalho
e capital
resulta em uma produção que também dobra.
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Calcule os limites a seguir:
Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.
Calcule, se existirem, os seguintes limites: