Verifique se, para a função de produção de Cobb-Douglas abaixo
a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma função de produção genérica

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se, na função de produção de Cobb-Douglas que você forneceu, a produção dobra quando tanto o trabalho (L) quanto o capital (K) são dobrados. Além disso, queremos saber se isso também acontece para uma função de produção genérica do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de produção de Cobb-Douglas. Ela é usada na economia para representar a relação entre os insumos (como trabalho e capital) e a produção. A função geral é:
Aqui, é a produtividade total dos fatores, é a quantidade de trabalho, é a quantidade de capital, e é o parâmetro que indica a elasticidade da produção em relação ao trabalho.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função específica que você deu:
Queremos ver o que acontece com quando dobramos e . Ou seja, substituímos por e por :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos expoentes. Sabemos que . Então:
Juntando os termos com 2:

Passo 5

Agora, percebemos que é simplesmente o dobro da produção original :
Isso mostra que, na função específica que você forneceu, dobrar e realmente dobra a produção.

Passo 6

Vamos agora verificar para a função genérica . Aplicando o mesmo raciocínio:
Usando propriedades dos expoentes:
Juntando os termos com 2:

Resposta

Sim, para ambas as funções de produção de Cobb-Douglas fornecidas, dobrar as quantidades de trabalho e capital resulta em uma produção que também dobra.

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Calcule os limites a seguir:
Encontre o limite dos quocientes quando e .
Calcule, se existirem, os seguintes limites: