Calcule os limites a seguir: lim x 1 x^2-7 x+6x^3-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu:
lim x 1 x^2-7 x+6x^3-3 x+2
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre substituição direta e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^2 - 7 times 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
1^3 - 3 times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Denominador:
Então, a gente tem uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) , uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador e ver se tem algum fator comum que a gente pode cancelar.
Vamos fatorar o numerador 1^3 - 3 times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 :
Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -7. Esses números são -1 e -6.
Então:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2)
Agora, vamos fatorar o denominador x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) . Para isso, podemos tentar encontrar uma raiz do polinômio. Sabemos que x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2) é uma raiz porque substituindo:
Então, é um fator. Vamos dividir o polinômio por usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini:
Agora, vamos fatorar :
Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1.
Então:
Portanto,

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, vamos reescrever a expressão original:
(x - 1)(x - 6)(x - 1)^2(x + 2)
Perceba que temos um (x - 6)(x - 1)(x + 2) no numerador e no denominador. Podemos cancelar um desses fatores:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 1 - 6(1 - 1)(1 + 2) = -50 times 3 = -50 sem obter uma forma indeterminada:
Isso significa que o limite tende a (menor infinito), pois o denominador está se aproximando de zero e o numerador é negativo.

Resposta

lim x 1 x^2-7 x+6x^3-3 x+2 = -infty

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