Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre substituição direta e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Então, a gente tem uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador e ver se tem algum fator comum que a gente pode cancelar.
Vamos fatorar o numerador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -7. Esses números são -1 e -6.
Então:
Agora, vamos fatorar o denominador
. Para isso, podemos tentar encontrar uma raiz do polinômio. Sabemos que
é uma raiz porque substituindo:
Então,
é um fator. Vamos dividir o polinômio por
usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini:
Agora, vamos fatorar
:
Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1.
Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1.
Então:
Portanto,
Passo 4
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, vamos reescrever a expressão original:
Perceba que temos um
no numerador e
no denominador. Podemos cancelar um desses fatores:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir
sem obter uma forma indeterminada:
Isso significa que o limite tende a
(menor infinito), pois o denominador está se aproximando de zero e o numerador é negativo.
Resposta
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