Calcule os limites a seguir: lim x 0 sen(4 x)tg(3 x).

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 0 sen(4 x)tg(3 x). Esse problema envolve funções trigonométricas e o estudo de limites quando x se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas dos limites de funções seno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno, já que tg(3x) = sen(3x)cos(3x). Assim, o limite fica:
lim x 0 sen(4x)sen(3x)cos(3x) = lim x 0 sen(4x) cdot cos(3x)sen(3x)

Passo 3

Agora, separamos o limite em duas partes:
lim x 0 sen(4x)sen(3x) cdot cos(3x)
Sabemos que limx 0 cos(3x) = 1, pois o cosseno de 0 é 1.

Passo 4

Focando no primeiro fator, temos limx 0 sen(4x)sen(3x). Para resolver isso, usamos o fato de que limx 0 sen(kx)kx = 1 para qualquer constante k. Então podemos reescrever:
limx 0 sen(4x)sen(3x) = limx 0 sen(4x)4x cdot 3xsen(3x) cdot 43 = 1 cdot 1 cdot 43 = 43

Resposta

O limite é 43.

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