Determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função
cuja expressão é dada abaixo, definida no maior domínio possível
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A função que temos é:
Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre assíntotas e como elas se comportam nas funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador da fração igual a zero, mas que não cancelam com o numerador. Ou seja, vamos resolver:
Resolvendo essa equação, temos:
Então,
e
são nossos candidatos para assíntotas verticais. Mas precisamos verificar se essas soluções também anulam o numerador.
Passo 3
Vamos verificar o numerador nos pontos
e
.
Para
:
Então,
é uma assíntota vertical.
Para
:
Aqui, como o numerador também é zero, precisamos analisar melhor. Vamos simplificar a função para ver se
realmente é uma assíntota ou apenas um ponto removível.
Passo 4
Observando a expressão
, sabemos que para
,
. Então, a função fica:
Factorizando o denominador:
Vemos que
cancela, então
não é uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende para
e
.
Para
,
, então:
Dividindo numerador e denominador por
:
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Para
,
, então:
Dividindo por
:
Assim, temos outra assíntota horizontal em
.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em
e duas assíntotas horizontais nas retas
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
Faça um esboço do gráfico da função
dada e encontre, se existir, cada um dos limites
e
; se não existir, indique a razão disto.
Calcule os limites a seguir:
.
Encontre o limite lateral.