Determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função f cuja expressão é dada abaixo, definida no maior domínio possível
f(x)=(x^2+x|x|+x+1)/(x^2-1)

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A função que temos é:
Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre assíntotas e como elas se comportam nas funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador da fração igual a zero, mas que não cancelam com o numerador. Ou seja, vamos resolver:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, e são nossos candidatos para assíntotas verticais. Mas precisamos verificar se essas soluções também anulam o numerador.

Passo 3

Vamos verificar o numerador nos pontos e .
Para :
Então, é uma assíntota vertical.
Para :
Aqui, como o numerador também é zero, precisamos analisar melhor. Vamos simplificar a função para ver se realmente é uma assíntota ou apenas um ponto removível.

Passo 4

Observando a expressão , sabemos que para , . Então, a função fica:
Factorizando o denominador:
Vemos que cancela, então não é uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende para e .
Para , , então:
Dividindo numerador e denominador por :
Então, temos uma assíntota horizontal em .
Para , , então:
Dividindo por :
Assim, temos outra assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e duas assíntotas horizontais nas retas e .

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