Determine as derivadas das funções abaixo: f(x) = raiz(e^(3 x) * cos(2 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas e produtos. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser representada como um expoente fracionário:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de é . Aqui, e .

Passo 4

Agora, precisamos derivar a parte interna . Para isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e .
Primeiro, derivamos e :

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão do Passo 3:
Podemos simplificar um pouco mais:
E fatorando :

Resposta

A derivada da função é:

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