Calcule os limites a seguir:
lim x 0 sen^3(x2)x^3 (use o limite fundamental lim x 0 sen(x) / x=1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente na parte de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental , que nos ajuda a simplificar expressões com o seno quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão como . Assim, nosso limite fica:

Passo 3

Vamos separar os fatores do limite para facilitar a aplicação do limite fundamental. Podemos escrever:
Isso porque, ao multiplicar e dividir por (sen(x2))^3x^3 = (sen(x2)x2)^3 times (12)^3 , conseguimos ajustar a expressão para usar o limite fundamental.

Passo 4

Agora, focamos na parte . Sabemos pelo limite fundamental que:
Substituindo lim x 0 sen(x)x = 1 por uma nova variável lim u 0 sen(u)u = 1 (onde lim x 0 sen(x2)x2 = 1 quando ), temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão original, substituímos o limite que acabamos de calcular:

Resposta

O limite é igual a .

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