em que é um número real.
Use o Teorema do Confronto para calcular .
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma função definida de duas formas, dependendo do valor de . Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de -2, usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para isso, precisamos entender como a função se comporta perto de e aplicar o teorema para determinar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função onde :
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Vamos começar fatorando o numerador e o denominador da fração:
Fatorando o denominador:
Fatorando o numerador:
Agora, substituímos as fatorações na fração original:
Note que podemos cancelar um termo tanto no numerador quanto no denominador, desde que . Assim, a função simplificada fica:
Passo 3
Agora, queremos calcular . Para isso, vamos aplicar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites quando a função está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Aplicando isso à nossa função:
Multiplicando ambos os lados da desigualdade pela fração , temos:
Agora, vamos calcular o limite da fração quando se aproxima de -2:
Portanto, tanto o limite inferior quanto o limite superior da nossa desigualdade vão para 0 quando se aproxima de -2. Pelo Teorema do Confronto, isso implica que: