Considere a função
h(x)=l (x^3+4 x^2+4 xx^2-3 x-10) sen(12+x), se x neq-2 L, se x=-2
em que L é um número real.
Use o Teorema do Confronto para calcular lim x -2 h(x).

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma função definida de duas formas, dependendo do valor de . Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de -2, usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para isso, precisamos entender como a função se comporta perto de e aplicar o teorema para determinar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função onde h(x) = (x^3 + 4x^2 + 4xx^2 - 3x - 10) sen(12 + x) :
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Vamos começar fatorando o numerador e o denominador da fração:
  • Fatorando o denominador:
    x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)
  • Fatorando o numerador:
    x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4) = x(x + 2)^2
Agora, substituímos as fatorações na fração original:
x(x + 2)^2(x - 5)(x + 2) = x(x + 2)x - 5
Note que podemos cancelar um termo h(x) = x(x + 2)x - 5 sen(12 + x) tanto no numerador quanto no denominador, desde que . Assim, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, queremos calcular -1 <= sen(t) <= 1 para todo t . Para isso, vamos aplicar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites quando a função está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Aplicando isso à nossa função:
Multiplicando ambos os lados da desigualdade pela fração -1 <= sen(12 + x) <= 1 , temos:
-|x(x + 2)x - 5| <= h(x) <= |x(x + 2)x - 5|
Agora, vamos calcular o limite da fração quando limx -2 x(x + 2)x - 5 = (-2)(-2 + 2)-2 - 5 = (-2)(0)-7 = 0 se aproxima de -2:
limx -2 h(x) = 0
Portanto, tanto o limite inferior quanto o limite superior da nossa desigualdade vão para 0 quando se aproxima de -2. Pelo Teorema do Confronto, isso implica que:

Resposta

O limite de quando se aproxima de -2 é 0.

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