Considere a função .
Faça um esboço do gráfico dessa função próximo das assíntotas que você encontrou.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . A matéria que a gente vai usar aqui envolve encontrar as assíntotas de uma função racional e esboçar o gráfico próximo a elas. Pra isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para identificar onde estão as assíntotas verticais e a assíntota horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da função para facilitar a identificação das assíntotas. O numerador pode ser fatorado assim:
Já o denominador é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado como:

Passo 3

Agora que temos a função fatorada, podemos reescrevê-la:
Note que o fator aparece no numerador e no denominador, o que significa que em a função tem uma descontinuidade removível, ou seja, um ponto onde não há assíntota vertical, mas sim um ponto “buraco”.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero e não há cancelamento com o numerador. No nosso caso, após simplificar, temos:
Então, a única assíntota vertical é em .

Passo 5

Em seguida, vamos determinar a assíntota horizontal. Quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. No nosso caso:
í
í
Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

O esboço do gráfico da função próximo às assíntotas mostra uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . O gráfico se aproxima dessas linhas sem tocar nelas, exibindo comportamento distinto próximo a cada assíntota.

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i.
ii.
Considere a função
em que é um número real.
Use o Teorema do Confronto para calcular .
Calcule os limites a seguir:
(use o limite fundamental )