Determine domínio e imagem e faça o esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções definidas por partes! A função está dividida em três partes, dependendo do valor de . Precisamos descobrir o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que pode assumir) e fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar cada pedaço da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio. Olhando para a definição da função:
Vemos que:
Para , a função está definida.
Para , também está definida.
Para , está definida.
Juntando tudo, o domínio é todos os números reais, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem. Precisamos ver quais valores pode assumir em cada intervalo.
Para :
Essa é uma reta decrescente. Conforme aumenta, diminui sem limite inferior. Então, a imagem desse pedaço é .
Para :
É uma parábola. Para achar o intervalo dos valores, podemos calcular o valor mínimo ou máximo da função nesse intervalo. Ao derivar e igualar a zero, encontramos o vértice. Mas de forma simplificada, sabemos que essa função atinge valores entre seus extremos nesse intervalo.
Para :
Outra reta, dessa vez crescente. Conforme diminui, também pode ir até . A imagem desse pedaço é .
Juntando todos os casos, a imagem da função é .
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico:
Para : é uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1. Começa indo para quando vai para e atinge .
Para : é uma parábola que abre para cima. Vamos plotar pontos importantes nesse intervalo para ver como ela se comporta.
Para : é uma reta decrescente que começa em e vai diminuindo.
No gráfico, esses três segmentos se conectam nos pontos e , formando uma função contínua.
Resposta
O domínio da função é e a imagem é . O gráfico é composto por três segmentos: uma reta crescente para , uma parábola no intervalo e uma reta decrescente para , conectando-se nos pontos e .