Considere a função definida por várias sentenças:
f(x)=l 8-2 x, se x>3 2 x^2-7 x+3, se 12
Determine domínio e imagem e faça o esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções definidas por partes! A função está dividida em três partes, dependendo do valor de . Precisamos descobrir o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que pode assumir) e fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar cada pedaço da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio. Olhando para a definição da função:
f(x) = 8 - 2x, & se x > 3 2x^2 - 7x + 3, & se 12 < x <= 3 2x - 1, & se x <= 12
Vemos que:
  • Para , a função está definida.
  • Para , também está definida.
  • Para , está definida.
Juntando tudo, o domínio é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem. Precisamos ver quais valores f(x) = 8 - 2x pode assumir em cada intervalo.
  1. Para f(x) = 2x^2 - 7x + 3 :
    f(x) = 2x - 1
    Essa é uma reta decrescente. Conforme aumenta, diminui sem limite inferior. Então, a imagem desse pedaço é .
  2. Para :
    É uma parábola. Para achar o intervalo dos valores, podemos calcular o valor mínimo ou máximo da função nesse intervalo. Ao derivar e igualar a zero, encontramos o vértice. Mas de forma simplificada, sabemos que essa função atinge valores entre seus extremos nesse intervalo.
  3. Para :
    Outra reta, dessa vez crescente. Conforme diminui, também pode ir até . A imagem desse pedaço é .
Juntando todos os casos, a imagem da função é .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Para :
    é uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1. Começa indo para quando vai para e atinge .
  2. Para :
    é uma parábola que abre para cima. Vamos plotar pontos importantes nesse intervalo para ver como ela se comporta.
  3. Para :
    é uma reta decrescente que começa em e vai diminuindo.
No gráfico, esses três segmentos se conectam nos pontos e , formando uma função contínua.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é . O gráfico é composto por três segmentos: uma reta crescente para , uma parábola no intervalo e uma reta decrescente para , conectando-se nos pontos e .

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