Considere a função definida por várias sentenças:
Determine domínio e imagem e faça o esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções definidas por partes! A função está dividida em três partes, dependendo do valor de . Precisamos descobrir o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que pode assumir) e fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar cada pedaço da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio. Olhando para a definição da função:
Vemos que:
  • Para , a função está definida.
  • Para , também está definida.
  • Para , está definida.
Juntando tudo, o domínio é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem. Precisamos ver quais valores pode assumir em cada intervalo.
  1. Para :
    Essa é uma reta decrescente. Conforme aumenta, diminui sem limite inferior. Então, a imagem desse pedaço é .
  2. Para :
    É uma parábola. Para achar o intervalo dos valores, podemos calcular o valor mínimo ou máximo da função nesse intervalo. Ao derivar e igualar a zero, encontramos o vértice. Mas de forma simplificada, sabemos que essa função atinge valores entre seus extremos nesse intervalo.
  3. Para :
    Outra reta, dessa vez crescente. Conforme diminui, também pode ir até . A imagem desse pedaço é .
Juntando todos os casos, a imagem da função é .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Para :
    é uma reta com inclinação 2 e intercepto em -1. Começa indo para quando vai para e atinge .
  2. Para :
    é uma parábola que abre para cima. Vamos plotar pontos importantes nesse intervalo para ver como ela se comporta.
  3. Para :
    é uma reta decrescente que começa em e vai diminuindo.
No gráfico, esses três segmentos se conectam nos pontos e , formando uma função contínua.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é . O gráfico é composto por três segmentos: uma reta crescente para , uma parábola no intervalo e uma reta decrescente para , conectando-se nos pontos e .

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Calcule os limites a seguir:
(use o limite fundamental )
Considere a função
em que é um número real.
Use o Teorema do Confronto para calcular .
Considere a função .
Obtenha as assíntotas verticais dessa função, caso existam.
Considere a função
em que é um número real.
Estude o sinal de (simplifique primeiro a expressão).