Calcule os limites a seguir
(m) lim x +infty(3 x^2+5)^x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando tende a mais infinito. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como expressões do tipo se comportam quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do parênteses: . À medida que aumenta, domina o termo , então cresce indefinidamente, ou seja, tende a mais infinito ( ).

Passo 3

Agora, precisamos entender o comportamento de ln( (3x^2 + 5)^x ) = x cdot ln(3x^2 + 5) quando também tende a mais infinito. Esse tipo de expressão geralmente leva a um crescimento muito rápido, mas vamos confirmar isso matematicamente.
Uma boa estratégia é usar logaritmos para simplificar a expressão. Vamos aplicar o logaritmo natural ( ) nos dois lados:

Passo 4

Vamos analisar o limite de ln(3x^2 + 5) approx ln(3x^2) = ln 3 + 2 ln x quando x cdot (ln 3 + 2 ln x) = x ln 3 + 2x ln x tende a mais infinito. Como vimos antes, para valores grandes de , então:
Substituindo de volta:
Ambos os termos e tendem a mais infinito quando cresce, o que significa que todo o limite tende a mais infinito.

Resposta

lim x +infty(3 x^2+5)^x = +infty

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