Verificar a existência dos limites das seguintes funçőes quando
tende ao ponto indicado
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima do ponto
. A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e como analisar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função de duas variáveis existir. O limite
existe se, independentemente do caminho que
seguir para chegar em
, o valor de
se aproxima do mesmo número.
Passo 3
Vamos analisar os dois casos da função:
- Quando
: A função é . - Quando
: A função é .
Passo 4
Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de
com
. Nesse caso, a função vale sempre zero:
Então, o limite ao longo do eixo
é claramente 0.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso onde
. A função aí é . Queremos ver o limite de quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados por
, que é positivo, temos:
Passo 7
Agora, como
tende a 0 quando
tende a 0, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:
Passo 8
Assim, ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho onde
, o limite da função também é 0.
Resposta
O limite da função
quando
tende a
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir
(m) ;
(m)
Calcule os limites a seguir
(h) ;
(h)
Calcule a derivada das funções a seguir.
(b)
(b)
Calcular o valor de a para que a função dada seja contínua em ( 0,0 ):