Verificar a existência dos limites das seguintes funçőes quando tende ao ponto indicado

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o limite da função existe quando se aproxima do ponto . A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e como analisar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função de duas variáveis existir. O limite existe se, independentemente do caminho que seguir para chegar em , o valor de se aproxima do mesmo número.

Passo 3

Vamos analisar os dois casos da função:
  1. Quando : A função é .
  2. Quando : A função é .

Passo 4

Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de com . Nesse caso, a função vale sempre zero:
Então, o limite ao longo do eixo é claramente 0.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso onde . A função aí é . Queremos ver o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 6

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados por , que é positivo, temos:

Passo 7

Agora, como tende a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

Passo 8

Assim, ao nos aproximarmos de por qualquer caminho onde , o limite da função também é 0.

Resposta

O limite da função quando tende a existe e é igual a 0.

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Calcule os limites a seguir
(m) ;
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