Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo hemisfério e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície formada pelo hemisfério e o plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma o cálculo de fluxo em uma integração sobre o volume envolvido pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por . Matematicamente, fica assim:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Então:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral tripla sobre o volume do hemisfério. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas porque a região é simétrica e está limitada por uma esfera de raio .
Nas coordenadas esféricas, as variáveis são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Vamos expressar a divergência em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então, a divergência fica:
Agora, a integral tripla para o fluxo será:

Passo 6

Vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a (raio da esfera).
  • varia de a (para cobrir o hemisfério superior).
  • varia de a (círculo completo).
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma por uma:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 8

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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Determinar o domínio das seguintes funções:
Calcule os limites a seguir
(h) ;
Calcule os limites a seguir
(m) ;