através da superfície da região envolvida pelo hemisfério e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície formada pelo hemisfério e o plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma o cálculo de fluxo em uma integração sobre o volume envolvido pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por . Matematicamente, fica assim:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral tripla sobre o volume do hemisfério. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas porque a região é simétrica e está limitada por uma esfera de raio .
Nas coordenadas esféricas, as variáveis são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Vamos expressar a divergência em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então, a divergência fica:
Agora, a integral tripla para o fluxo será:
Passo 6
Vamos determinar os limites de integração:
varia de a (raio da esfera).
varia de a (para cobrir o hemisfério superior).
varia de a (círculo completo).
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver as integrais uma por uma:
Integral em :
Integral em :
Integral em :
Passo 8
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é .