Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental lim x 0 sin xx=1.
(e) lim x 0 1-sec (x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado a limites em cálculo, especialmente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a função secante ( ) e como ela se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1 - 1cos(x)x^2 é o inverso do cosseno, ou seja, . Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
1 - 1cos(x) = cos(x) - 1cos(x)
Então, a expressão completa fica:
cos(x) - 1cos(x)x^2 = cos(x) - 1x^2 cos(x)

Passo 4

Sabemos que, quando limx 0 1 - cos(x)x^2 = 12 se aproxima de 0, limx 0 cos(x) - 1x^2 cos(x) = limx 0 -(1 - cos(x))x^2 cos(x) = -1cos(0) cdot 12 = -11 cdot 12 = -12 se aproxima de 1. Além disso, existe um limite conhecido:
Então, podemos reescrever nosso limite usando essa informação:

Resposta

O limite é .

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