Suponha que a função
é contínua em
e que sua derivada
é de ordem exponencial. Mostre que
é de ordem exponencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua em
e sua derivada
é de ordem exponencial. Nosso objetivo é mostrar que a própria função
também é de ordem exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como a continuidade e a derivada da função estão relacionadas a isso.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa uma função ser de ordem exponencial. Dizemos que uma função
é de ordem exponencial se existe alguma constante
e
tal que:
Isso quer dizer que a função não cresce mais rápido do que uma função exponencial quando
aumenta.
Passo 3
Sabemos que
é de ordem exponencial. Então, existe uma constante
e
tal que:
Nosso objetivo é usar essa informação para encontrar uma estimativa semelhante para
.
Passo 4
Como
é contínua e sabemos algo sobre sua derivada
, podemos relacionar
com
através da integração. Vamos integrar
de
a
:
Passo 5
Aplicando a desigualdade que temos para
, temos:
Agora, vamos resolver a integral.
Passo 6
A integral de
em relação a
de
a
é:
Substituindo de volta na desigualdade para
:
Passo 7
Podemos reorganizar os termos:
Definindo
, temos:
Passo 8
Para simplificar, podemos ajustar
para que a desigualdade fique na forma de ordem exponencial:
Definindo uma nova constante
, temos:
Resposta
Portanto, existe uma constante
e
tal que:
Isso mostra que
é de ordem exponencial.
Exercícios relacionados
Seja a função
definida em
. Verifique que
e
são identicamente nulas em
, mas
não é constante.
Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções:
;
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental .
(e)
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental
(e)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental .
(d)
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental
(d)