Suponha que a função f é contínua em (0, +infinito) e que sua derivada f' é de ordem exponencial. Mostre que f é de ordem exponencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua em e sua derivada é de ordem exponencial. Nosso objetivo é mostrar que a própria função também é de ordem exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como a continuidade e a derivada da função estão relacionadas a isso.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa uma função ser de ordem exponencial. Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existe alguma constante e tal que:
Isso quer dizer que a função não cresce mais rápido do que uma função exponencial quando aumenta.

Passo 3

Sabemos que é de ordem exponencial. Então, existe uma constante e tal que:
Nosso objetivo é usar essa informação para encontrar uma estimativa semelhante para .

Passo 4

Como é contínua e sabemos algo sobre sua derivada , podemos relacionar com através da integração. Vamos integrar de a :

Passo 5

Aplicando a desigualdade que temos para , temos:
Agora, vamos resolver a integral.

Passo 6

A integral de em relação a de a é:
Substituindo de volta na desigualdade para :

Passo 7

Podemos reorganizar os termos:
Definindo , temos:

Passo 8

Para simplificar, podemos ajustar para que a desigualdade fique na forma de ordem exponencial:
Definindo uma nova constante , temos:

Resposta

Portanto, existe uma constante e tal que:
Isso mostra que é de ordem exponencial.

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