Seja a função definida em . Verifique que e são identicamente nulas em , mas não é constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
Definida no domínio . A tarefa é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero em todo o domínio , mas que a função não é constante.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e funções constantes. Vamos seguir passo a passo para entender por que as derivadas são nulas e, mesmo assim, a função não é constante.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Portanto, a função pode ser reescrita como:

Passo 3

A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto. Então,
Assim, a função fica:

Passo 4

Vamos analisar a função :
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
Portanto, a função assume apenas os valores ou dependendo do sinal de .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Lembrando que se uma função é constante em uma região, suas derivadas parciais nessa região são zero.
No nosso caso:
  • Quando , , que é constante.
  • Quando , , que também é constante.
Assim, em ambas as regiões do domínio , as derivadas parciais serão zero.

Passo 6

Vamos formalizar os cálculos das derivadas parciais.
Para :
Como dependendo de , a derivada de uma constante é zero. Portanto,
Da mesma forma, para :

Passo 7

Embora as derivadas parciais sejam zero em todo o domínio , isso não necessariamente implica que a função seja constante em todo .
Observe que:
  • Se , .
  • Se , .
Portanto, a função varia entre e dependendo da região do domínio, o que significa que ela não é constante em .

Resposta

As derivadas parciais de em relação a e são zero em todo o domínio , porém a função não é constante, já que assume os valores e dependendo do sinal de .

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Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental .
(e)