Seja a função
definida em
. Verifique que
e
são identicamente nulas em
, mas
não é constante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
Definida no domínio
. A tarefa é mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero em todo o domínio
, mas que a função
não é constante.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e funções constantes. Vamos seguir passo a passo para entender por que as derivadas são nulas e, mesmo assim, a função não é constante.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Portanto, a função
pode ser reescrita como:
Passo 3
A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto. Então,
Assim, a função fica:
Passo 4
Vamos analisar a função
:
- Se
, então , e . - Se
, então , e .
Portanto, a função
assume apenas os valores
ou
dependendo do sinal de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Lembrando que se uma função é constante em uma região, suas derivadas parciais nessa região são zero.
No nosso caso:
- Quando
, , que é constante. - Quando
, , que também é constante.
Assim, em ambas as regiões do domínio
, as derivadas parciais serão zero.
Passo 6
Vamos formalizar os cálculos das derivadas parciais.
Para
:
Como
dependendo de
, a derivada de uma constante é zero. Portanto,
Da mesma forma, para
:
Passo 7
Embora as derivadas parciais sejam zero em todo o domínio
, isso não necessariamente implica que a função
seja constante em todo
.
Observe que:
- Se
, . - Se
, .
Portanto, a função
varia entre
e
dependendo da região do domínio, o que significa que ela não é constante em
.
Resposta
As derivadas parciais de
em relação a
e
são zero em todo o domínio
, porém a função
não é constante, já que assume os valores
e
dependendo do sinal de
.
Exercícios relacionados
Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções:
;
O comprimento
e o período
de um pêndulo simples estão relacionados pela equação
. Se o valor de
é calculado quando
e
, determine o erro cometido se, na realidade,
e
.
Suponha que a função
é contínua em
e que sua derivada
é de ordem exponencial. Mostre que
é de ordem exponencial.
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental .
(e)
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental
(e)