Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando a regra de L’Hospital. Esse problema está no assunto de Cálculo de Limites, especificamente lidando com expressões que apresentam formas indeterminadas. Vamos precisar usar logaritmos e aplicar a regra de L’Hospital para simplificar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma do limite. Quando x se aproxima de 0,
se aproxima de 1, e
tende ao infinito. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, uma estratégia legal é tirar o logaritmo natural para transformar o limite em uma expressão mais simples.
Passo 3
Vamos chamar o limite original de
:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, precisamos calcular:
Passo 4
Observamos que, quando x se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo
. Isso é perfeito para aplicar a regra de L’Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Passo 5
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hospital:
Quando x se aproxima de 0,
se aproxima de 1, então:
Passo 7
Então, temos que:
Para encontrar
, vamos usar a função exponencial:
Resposta
O limite é
.