Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x 0(1+2 x)^5x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0(1+2x)^5x usando a regra de L’Hospital. Esse problema está no assunto de Cálculo de Limites, especificamente lidando com expressões que apresentam formas indeterminadas. Vamos precisar usar logaritmos e aplicar a regra de L’Hospital para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma do limite. Quando x se aproxima de 0, (1 + 2x) se aproxima de 1, e 5x tende ao infinito. Então, temos uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver isso, uma estratégia legal é tirar o logaritmo natural para transformar o limite em uma expressão mais simples.

Passo 3

Vamos chamar o limite original de L:
L = limx 0(1+2x)^5x
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx 0 5x cdot ln(1+2x)
Agora, precisamos calcular:
limx 0 ln(1+2x)x/5

Passo 4

Observamos que, quando x se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo 00. Isso é perfeito para aplicar a regra de L’Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.

Passo 5

Derivando o numerador:
ddx ln(1+2x) = 21+2x
Derivando o denominador:
ddx (x5) = 15

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hospital:
limx 0 ln(1+2x)x/5 = limx 0 21+2x15 = limx 0 101+2x
Quando x se aproxima de 0, 1 + 2x se aproxima de 1, então:
limx 0 101+2x = 10

Passo 7

Então, temos que:
ln L = 10
Para encontrar L, vamos usar a função exponencial:
L = e^10

Resposta

O limite é e^10.

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