Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando a regra de L'Hospital. Esse problema está no assunto de **Cálculo de Limites**, especificamente lidando com expressões que apresentam formas indeterminadas. Vamos precisar usar logaritmos e aplicar a regra de L'Hospital para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma do limite. Quando x se aproxima de 0, se aproxima de 1, e tende ao infinito. Então, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, uma estratégia legal é tirar o logaritmo natural para transformar o limite em uma expressão mais simples.

Passo 3

Vamos chamar o limite original de : Tirando o logaritmo natural dos dois lados: Agora, precisamos calcular:

Passo 4

Observamos que, quando x se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo . Isso é perfeito para aplicar a regra de L'Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.

Passo 5

Derivando o numerador: Derivando o denominador:

Passo 6

Aplicando a regra de L'Hospital: Quando x se aproxima de 0, se aproxima de 1, então:

Passo 7

Então, temos que: Para encontrar , vamos usar a função exponencial:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Resolver as seguintes equações: . Resp.: .
Calcule em termos de e , onde é uma função derivável dada implicitamente pela equação: