Resolver as seguintes equações:
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Observando as derivadas parciais:
Vemos que:
Isso confirma que a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 9
Primeiro, integramos
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Agora, integramos
:
Passo 10
Juntando as integrações:
Aqui,
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 11
Para encontrar
, usamos a condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Portanto:
Passo 12
Integrando
:
Podemos escrever
como
se
.
Passo 13
Agora, substituímos
na função
:
Resposta
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em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
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