Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Observando as derivadas parciais:
Vemos que:
Isso confirma que a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 8

Integrando em relação a :
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 9

Primeiro, integramos :
Fazendo a substituição , temos , então:
Agora, integramos :

Passo 10

Juntando as integrações:
Aqui, é uma função de que precisamos determinar.

Passo 11

Para encontrar , usamos a condição:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Portanto:

Passo 12

Integrando :
Podemos escrever como se .

Passo 13

Agora, substituímos na função :

Resposta

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