Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Estamos trabalhando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para calcular limites de forma mais fácil quando encontramos uma indeterminação do tipo
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Ao observarmos:
-
cresce exponencialmente e tende para quando vai para . -
também tende para quando vai para .
Então, temos uma indeterminação do tipo
, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Agora, nosso limite fica:
Passo 4
Verificamos novamente a forma do limite:
-
ainda tende para . -
também tende para .
Continuamos com a indeterminação
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Derivamos novamente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Nosso limite agora é:
Passo 6
Mais uma vez, avaliamos a forma:
-
tende para . -
também tende para .
Ainda estamos com a indeterminação
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 7
Derivamos pela terceira vez:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Agora, o limite fica:
Passo 8
Finalmente, analisamos esse limite:
-
cresce exponencialmente para . - O denominador é uma constante
.
Então, o limite é:
Resposta
O limite é
.
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Resolver as seguintes equações:
.
Resp.: .
Resp.: