Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Estamos trabalhando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para calcular limites de forma mais fácil quando encontramos uma indeterminação do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Ao observarmos:
  • cresce exponencialmente e tende para quando vai para .
  • também tende para quando vai para .
Então, temos uma indeterminação do tipo , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Verificamos novamente a forma do limite:
  • ainda tende para .
  • também tende para .
Continuamos com a indeterminação , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Nosso limite agora é:

Passo 6

Mais uma vez, avaliamos a forma:
  • tende para .
  • também tende para .
Ainda estamos com a indeterminação , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 7

Derivamos pela terceira vez:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Agora, o limite fica:

Passo 8

Finalmente, analisamos esse limite:
  • cresce exponencialmente para .
  • O denominador é uma constante .
Então, o limite é:

Resposta

O limite é .

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Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
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Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .