Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x 2 e^x^2-6 x+8x^3-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, mais especificamente usando a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar entender como aplicar essa regra quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos 2^2 - 6 times 2 + 82^3 - 8 = 4 - 12 + 88 - 8 = 00 diretamente na expressão dentro do exponencial:
Encontramos uma forma indeterminada , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital para simplificar.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa fração:
  • Numerador: f'(x) = 2x - 6
g'(x) = 3x^2
  • Denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx to 2 x^2 - 6x + 8x^3 - 8 = limx to 2 2x - 63x^2

Passo 6

Vamos calcular esse novo limite substituindo 2 times 2 - 63 times 2^2 = 4 - 612 = -212 = -16 :

Passo 7

Agora que encontramos o limite do expoente, podemos voltar à expressão original:
lim x 2 e^x^2-6 x+8x^3-8 = e^limx to 2 x^2 - 6x + 8x^3 - 8 = e^-16

Resposta

O limite é .

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