Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x +infty(x+7x-2)^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty(x+7x-2)^3 x. Aqui estamos lidando com limites que envolvem potências e vamos usar a Regra de L’Hospital para simplificar. Para isso, vamos precisar entender como transformar expressões exponenciais em logaritmos para aplicar a regra de maneira eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a nossa vida ao trabalhar com logaritmos. Já que estamos lidando com uma potência, podemos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para transformar a expressão:
ln((x+7x-2)^3x) = 3x cdot ln(x+7x-2)
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de 3x cdot ln(x+7x-2) quando x tende a mais infinito.

Passo 3

Vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo:
x+7x-2 = x(1 + 7x)x(1 - 2x) = 1 + 7x1 - 2x
Quando x tende a infinito, 7x e 2x tendem a zero, então:
1 + 7x1 - 2x approx 1 + 01 - 0 = 1
Portanto, ln(x+7x-2) tende a zero. Temos, então, o limite da forma 0 cdot infty, que é indeterminado.

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão como uma fração:
3x cdot ln(x+7x-2) = ln(x+7x-2)13x
Agora, temos a forma 00 quando x tende a infinito, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a x:
Numerador:
ddx ln(x+7x-2) = (1)(x-2) - (x+7)(1)(x+7)(x-2) = x - 2 - x - 7(x+7)(x-2) = -9(x+7)(x-2)
Denominador:
ddx (13x) = -13x^2

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
limx to +infty -9(x+7)(x-2)-13x^2 = limx to +infty 9 cdot 3x^2(x+7)(x-2) = limx to +infty 27x^2x^2 + 5x - 14
Simplificando, dividimos numerador e denominador por x^2:
limx to +infty 271 + 5x - 14x^2 = 271 + 0 - 0 = 27

Passo 7

Lembrando que tomamos o logaritmo no início, agora voltamos ao limite original:
ln(L) = 27 implies L = e^27

Resposta

O limite é e^27.

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