Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui estamos lidando com limites que envolvem potências e vamos usar a Regra de L’Hospital para simplificar. Para isso, vamos precisar entender como transformar expressões exponenciais em logaritmos para aplicar a regra de maneira eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a nossa vida ao trabalhar com logaritmos. Já que estamos lidando com uma potência, podemos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para transformar a expressão:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende a mais infinito.
Passo 3
Vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo:
Quando
tende a infinito,
e
tendem a zero, então:
Portanto,
tende a zero. Temos, então, o limite da forma
, que é indeterminado.
Passo 4
Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos a forma
quando
tende a infinito, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Numerador:
Denominador:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
Simplificando, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 7
Lembrando que tomamos o logaritmo no início, agora voltamos ao limite original:
Resposta
O limite é
.
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Resolver as seguintes equações:
.
Resp.: .
Resp.:
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Resolver as seguintes equações:
.
Resp.: .
Resp.:
Seja
uma função diferenciável em
. Sabendo que
que
, faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .
(a) Calcule