Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos lidando com limites que envolvem potências e vamos usar a Regra de L’Hospital para simplificar. Para isso, vamos precisar entender como transformar expressões exponenciais em logaritmos para aplicar a regra de maneira eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a nossa vida ao trabalhar com logaritmos. Já que estamos lidando com uma potência, podemos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para transformar a expressão:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende a mais infinito.

Passo 3

Vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo:
Quando tende a infinito, e tendem a zero, então:
Portanto, tende a zero. Temos, então, o limite da forma , que é indeterminado.

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos a forma quando tende a infinito, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Numerador:
Denominador:

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
Simplificando, dividimos numerador e denominador por :

Passo 7

Lembrando que tomamos o logaritmo no início, agora voltamos ao limite original:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Seja uma função diferenciável em . Sabendo que que , faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .