Seja z=f(x, y) uma função diferenciável em R^2. Sabendo que f(3 x, x^3)=arctg(x) e que partial fpartial y(3,1)=2, faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule partial fpartial x(3,1).

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é diferenciável em . A questão nos dá que e que a derivada parcial de em relação a no ponto (3,1) é 2. O que precisamos fazer é calcular a derivada parcial de em relação a nesse mesmo ponto. Vamos usar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a . A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas das partes multiplicadas pelas derivadas internas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos:
ddxf(3x, x^3) = partial fpartial x(3x, x^3) cdot ddx(3x) + partial fpartial y(3x, x^3) cdot ddx(x^3)
Simplificando as derivadas internas:
ddx(3x) = 3 e ddx(x^3) = 3x^2
Então:
partial fpartial x(3x, x^3) cdot 3 + partial fpartial y(3x, x^3) cdot 3x^2 = 11 + x^2
Aqui, diferenciamos que é .

Passo 4

Agora, vamos substituir partial fpartial x(3 cdot 1, 1^3) cdot 3 + partial fpartial y(3 cdot 1, 1^3) cdot 3 cdot 1^2 = 11 + 1^2 na equação acima:
3 cdot partial fpartial x(3,1) + 3 cdot partial fpartial y(3,1) = 12
Simplificando:
3 cdot partial fpartial x(3,1) + 3 cdot 2 = 12
Sabemos que , então:

Passo 5

Resolvendo para 3 cdot partial fpartial x(3,1) + 6 = 12 :
3 cdot partial fpartial x(3,1) = 12 - 6 = -112
Subtraindo 6 de ambos os lados:
partial fpartial x(3,1) = -116
Dividindo por 3:

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto (3,1) é .

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