Seja uma função diferenciável em . Sabendo que que , faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é diferenciável em . A questão nos dá que e que a derivada parcial de em relação a no ponto (3,1) é 2. O que precisamos fazer é calcular a derivada parcial de em relação a nesse mesmo ponto. Vamos usar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a . A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas das partes multiplicadas pelas derivadas internas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando as derivadas internas:
Então:
Aqui, diferenciamos que é .

Passo 4

Agora, vamos substituir na equação acima:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Resolvendo para :
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Dividindo por 3:

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto (3,1) é .

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Suponha uma função diferenciável e admita que
Mostre que
Resolver as seguintes equações: . Determinar a solução particular para .
Resp.: .