Seja
uma função diferenciável em
. Sabendo que
que
, faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule
.
(a) Calcule
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é diferenciável em
. A questão nos dá que
e que a derivada parcial de
em relação a
no ponto (3,1) é 2. O que precisamos fazer é calcular a derivada parcial de
em relação a
nesse mesmo ponto. Vamos usar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação
em relação a
. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas das partes multiplicadas pelas derivadas internas.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando as derivadas internas:
Então:
Aqui, diferenciamos
que é
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação acima:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Resolvendo para
:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
no ponto (3,1) é
.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações:
.
Resp.: .
Resp.:
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Suponha
uma função diferenciável e admita que
Mostre que
Resolver as seguintes equações:
. Determinar a solução particular para
.
Resp.: .
Resp.: