Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x 0 x+1-e^xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital é uma técnica que nos ajuda a calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para isso, precisamos entender derivadas, já que a regra envolve derivar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento da função quando 0 + 1 - e^00^2 = 0 + 1 - 10 = 00 se aproxima de 0. Substituindo :
Como obtemos a forma , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador f'(x) = 1 - e^x :
g'(x) = 2x
Derivada do denominador :

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
limx 0 f'(x)g'(x) = limx 0 1 - e^x2x
Vamos verificar novamente substituindo 1 - e^02 cdot 0 = 1 - 10 = 00 :
Ainda temos a forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivando novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador f''(x) = -e^x :
g''(x) = 2
Derivada do denominador :

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez:
limx 0 f''(x)g''(x) = limx 0 -e^x2
Agora, substituindo -e^02 = -12 :

Resposta

limx 0 x + 1 - e^xx^2 = -12

Exercícios relacionados