Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital é uma técnica que nos ajuda a calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para isso, precisamos entender derivadas, já que a regra envolve derivar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Substituindo :
Como obtemos a forma , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
Vamos verificar novamente substituindo :
Ainda temos a forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivando novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez:
Agora, substituindo :

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule em termos de e , onde é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Calcule os limites a seguir usando a regra de L