Resolver as seguintes equações: (1+y sen x) dx + (1-cos x) dy = 0.
Resp.: x + y - y cos(x) = C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . Chamamos de e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
Integrando em relação a M, temos:
Onde x é uma função de que pode ser determinada.

Passo 5

Para encontrar g(y), usamos a condição:
Derivando F(x, y) em relação a y:
Isso implica que , então:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Assim, a função F(x, y) completa é:
Como a equação é exata, igualamos F(x, y) a uma constante:

Resposta

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