Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . Chamamos de e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a , temos:
Onde é uma função de que pode ser determinada.

Passo 5

Para encontrar , usamos a condição:
Derivando em relação a :
Isso implica que , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Assim, a função completa é:
Como a equação é exata, igualamos a uma constante:

Resposta

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Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Seja uma função diferenciável em . Sabendo que que , faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .
Suponha uma função diferenciável e admita que
Mostre que