Resolver as seguintes equações:
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. Chamamos de e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
, temos:
Onde
é uma função de
que pode ser determinada.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a condição:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Assim, a função
completa é:
Como a equação é exata, igualamos
a uma constante: