Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(d) lim x 2 2 x^2-5 x+25 x^2-7 x-6

Passo 1

Vamos calcular o limite usando a regra de L’Hôpital. Primeiro, entendemos que trata-se de um problema de limites envolvendo funções racionais, onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. A regra de L’Hôpital é útil quando temos uma forma indeterminada como ou .

Passo 2

Substituímos 2(2)^2 - 5(2) + 2 = 8 - 10 + 2 = 0 diretamente na função para verificar se temos uma forma indeterminada:
5(2)^2 - 7(2) - 6 = 20 - 14 - 6 = 0
Como obtemos , podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que:
lim x a f(x)g(x) = lim x a f'(x)g'(x)
desde que o limite original resulte em uma forma indeterminada e as derivadas existam.

Passo 4

Calculamos a derivada do numerador f'(x) = 4x - 5 :
g'(x) = 10x - 7
Calculamos a derivada do denominador :

Passo 5

Reaplicamos o limite com as derivadas encontradas:
lim x 2 4x - 510x - 7
Substituímos 4(2) - 510(2) - 7 = 8 - 520 - 7 = 313 :

Resposta

O limite é igual a .

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