Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 centímetros quadrados.

Passo 1

Então, a gente tem um retângulo cuja área é de 100 centímetros quadrados e precisa descobrir quais são as medidas desse retângulo que tem o menor perímetro possível. Vamos usar conceitos de geometria, especialmente sobre área e perímetro, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
  • Área do retângulo:
  • Perímetro do retângulo:
Aqui, nosso objetivo é minimizar o perímetro enquanto mantemos a área igual a 100 cm².

Passo 3

Vamos chamar o comprimento de e a largura de . Sabemos que:
Queremos minimizar:

Passo 4

Vamos expressar uma das variáveis em função da outra usando a equação da área. Por exemplo, podemos isolar :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do perímetro:
Para encontrar o valor mínimo de , podemos derivar essa expressão em relação a e encontrar onde a derivada é zero.

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:

Passo 7

Resolvendo a equação:
cm

Passo 8

Agora que temos cm, substituímos na equação de :
cm

Resposta

As dimensões do retângulo de menor perímetro com área de 100 cm² são 10 centímetros de comprimento e 10 centímetros de largura, ou seja, ele é um quadrado.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(d)
Use a regra de L’Hôpital para mostrar que .
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(j)
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L§