Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 centímetros quadrados.
Passo 1
Então, a gente tem um retângulo cuja área é de 100 centímetros quadrados e precisa descobrir quais são as medidas desse retângulo que tem o menor perímetro possível. Vamos usar conceitos de geometria, especialmente sobre área e perímetro, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
- Área do retângulo:
- Perímetro do retângulo:
Aqui, nosso objetivo é minimizar o perímetro
enquanto mantemos a área
igual a 100 cm².
Passo 3
Vamos chamar o comprimento de
e a largura de
. Sabemos que:
Queremos minimizar:
Passo 4
Vamos expressar uma das variáveis em função da outra usando a equação da área. Por exemplo, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do perímetro:
Para encontrar o valor mínimo de
, podemos derivar essa expressão em relação a
e encontrar onde a derivada é zero.
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Passo 8
Agora que temos
cm, substituímos na equação de
:
Resposta
As dimensões do retângulo de menor perímetro com área de 100 cm² são 10 centímetros de comprimento e 10 centímetros de largura, ou seja, ele é um quadrado.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(d)
Use a regra de L’Hôpital para mostrar que
.
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(j)
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L§