Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(j) lim x 0 sin ^2(x)sin (x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 sin ^2(x)sin (x^2). O assunto aqui é cálculo de limites, e vamos usar a famosa Regra de L’Hôpital. Pra isso, precisamos entender quando aplicar a regra e como derivar as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a Regra de L’Hôpital é aplicável. Quando substituímos x = 0, temos:
sin^2(0)sin(0^2) = 00
Essa é uma forma indeterminada 00, então sim, a gente pode usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o numerador sin^2(x):
ddx [sin^2(x)] = 2sin(x)cos(x) (usando a regra da cadeia)
Derivando o denominador sin(x^2):
ddx [sin(x^2)] = 2xcos(x^2) (novamente, regra da cadeia)
Então, o limite agora fica:
lim x 0 2sin(x)cos(x)2xcos(x^2) = lim x 0 sin(x)cos(x)xcos(x^2)

Passo 5

Simplificando a expressão:
sin(x)x cdot cos(x)cos(x^2)
Sabemos que:
lim x 0 sin(x)x = 1
lim x 0 cos(x) = 1
lim x 0 cos(x^2) = cos(0) = 1
Portanto, multiplicando tudo:
1 cdot 11 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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