Use a regra de L’Hôpital para mostrar que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de
quando
tende a mais ou menos infinito. Esse tipo de limite está relacionado ao número de Euler,
. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Para facilitar o cálculo do limite, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Seja
, então:
Agora, nosso objetivo é encontrar:
Passo 3
Observamos que quando
tende ao infinito,
tende a zero. Então, temos uma expressão da forma
, que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, vamos reescrever essa expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma
, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Lembrando que
, para encontrar
basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite
.
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no intervalo
.
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