Use a regra de L’Hôpital para mostrar que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando tende a mais ou menos infinito. Esse tipo de limite está relacionado ao número de Euler, . Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Seja , então:
Agora, nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Observamos que quando tende ao infinito, tende a zero. Então, temos uma expressão da forma , que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, vamos reescrever essa expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Lembrando que , para encontrar basta aplicar a função exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite .

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(l)
Determine os extremos absolutos da função no intervalo .
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(d)
Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 centímetros quadrados.