Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(l) lim x 0 arcsin (2 x)arcsin x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente está trabalhando com limites, mais especificamente usando a Regra de L’Hospital. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e quando aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra é válida quando, ao substituir o valor que arcsin(0) = 0 está se aproximando, a expressão resulta em uma forma ou .
Substituindo :
Então,
Como estamos com a forma , podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
A derivada de ddx arcsin(u) = u'raiz1 - u^2 em relação a u = 2x Rightarrow u' = 2 é:
ddx arcsin(2x) = 2raiz1 - (2x)^2 = 2raiz1 - 4x^2
Para o numerador u = x Rightarrow u' = 1 :
ddx arcsin x = 1raiz1 - x^2
Então,
Para o denominador :
Então,

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
limx 0 2raiz1 - 4x^21raiz1 - x^2 = limx 0 2 cdot raiz1 - x^2raiz1 - 4x^2

Passo 5

Agora, substituímos 2 cdot raiz1 - 0raiz1 - 0 = 2 cdot 11 = 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 2.

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