Determine a função f(x), sabendo que f(pi)=2 e sua derivada f^prime é contínua e satisfaz à equação integral f^prime(x) cdot tg(x) d x=sen^3(x)-cos (x)+C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função sabendo que e que a derivada é contínua e satisfaz a equação . Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e integral para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
integral f'(x) cdot tan(x) , dx = sin^3(x) - cos(x) + C
Sabemos que a integral de f'(x) cdot tan(x) = ddx [sin^3(x) - cos(x) + C] em relação a ddx [sin^3(x) - cos(x)] = 3sin^2(x)cos(x) + sin(x) resulta em f'(x) cdot tan(x) = 3sin^2(x)cos(x) + sin(x) . Podemos reescrever essa equação para encontrar :
Calculando a derivada do lado direito:
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos isolar f'(x) = 3sin^2(x)cos(x) + sin(x)tan(x) = 3sin^2(x)cos(x) + sin(x)sin(x)cos(x) = 3sin^2(x)cos^2(x) + cos(x) . Sabemos que f(x) = integral (3sin^2(x)cos^2(x) + cos(x)) dx + K , então:
f(x) = 34sin^4(x) + sin(x) + K
Agora, para encontrar , vamos integrar :
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para , podemos usar a identidade para simplificar.
  2. Para , a integral é direta: .
Após simplificar e integrar, encontramos:

Passo 4

Por fim, usamos a condição inicial 2 = 34sin^4(pi) + sin(pi) + K para encontrar a constante 2 = 0 + 0 + K implies K = 2 :
Sabemos que , então:

Resposta

A função f(x) = 34sin^4(x) + sin(x) + 2 é dada por:

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