Determine a função , sabendo que e sua derivada é contínua e satisfaz à equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função sabendo que e que a derivada é contínua e satisfaz a equação . Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e integral para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Sabemos que a integral de em relação a resulta em . Podemos reescrever essa equação para encontrar :
Calculando a derivada do lado direito:
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos isolar . Sabemos que , então:
Agora, para encontrar , vamos integrar :
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para , podemos usar a identidade para simplificar.
  2. Para , a integral é direta: .
Após simplificar e integrar, encontramos:

Passo 4

Por fim, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que , então:

Resposta

A função é dada por:

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Seja definida no intervalo . Mostre que não existe que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio. Faça o gráfico da função. Sugestão: Mostre que não satisfaz pelo menos uma das hipóteses do T.V.M.
Encontre os valores de para os quais satisfaz a equação .
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(g)
Considere .
Encontrar .