Determine a função
, sabendo que
e sua derivada
é contínua e satisfaz à equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função
sabendo que
e que a derivada
é contínua e satisfaz a equação
. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e integral para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Sabemos que a integral de
em relação a
resulta em
. Podemos reescrever essa equação para encontrar
:
Calculando a derivada do lado direito:
Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos isolar
. Sabemos que
, então:
Agora, para encontrar
, vamos integrar
:
Vamos integrar termo a termo:
- Para
, podemos usar a identidade para simplificar. - Para
, a integral é direta: .
Após simplificar e integrar, encontramos:
Passo 4
Por fim, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A função
é dada por: