Seja
definida no intervalo
. Mostre que não existe
que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio. Faça o gráfico da função. Sugestão: Mostre que
não satisfaz pelo menos uma das hipóteses do T.V.M.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
definida no intervalo
e mostrar que não existe um número
dentro de
que satisfaça o Teorema do Valor Médio (T.V.M.). Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios do T.V.M. e verificar se a nossa função os atende. Também vamos dar uma olhada no gráfico da função para ajudar na explicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual à inclinação da reta que liga os pontos
e
. Ou seja:
Então, para aplicar o T.V.M., nossa função precisa ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto.
Passo 3
Vamos verificar se a função
é contínua em
. A raiz quadrada e o valor absoluto são funções contínuas, e a composição delas também é contínua. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é diferenciável no intervalo aberto
. A derivada de
para
pode ser calculada usando a regra da cadeia:
No entanto, quando
, a derivada não está definida porque estamos dividindo por zero, já que
. Isso significa que a função não é diferenciável em
.
Passo 5
Como o T.V.M. exige que a função seja diferenciável em todo o intervalo aberto
e vimos que
não é diferenciável em
, uma das condições do teorema não é satisfeita. Portanto, o Teorema do Valor Médio não se aplica a essa função no intervalo dado.
Passo 6
Para visualizar, vamos pensar no gráfico de
. Ele tem a forma de uma “V” suave com o ponto mais baixo em
. Esse ponto é onde a derivada não existe, confirmando nossa conclusão de que o T.V.M. não se aplica.
Resposta
Não existe nenhum número
no intervalo
que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
.
Exercícios relacionados
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para os quais
satisfaz a equação
.
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.
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, sabendo que
e sua derivada
é contínua e satisfaz à equação
.
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