Seja definida no intervalo . Mostre que não existe que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio. Faça o gráfico da função. Sugestão: Mostre que não satisfaz pelo menos uma das hipóteses do T.V.M.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função definida no intervalo e mostrar que não existe um número dentro de que satisfaça o Teorema do Valor Médio (T.V.M.). Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios do T.V.M. e verificar se a nossa função os atende. Também vamos dar uma olhada no gráfico da função para ajudar na explicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual à inclinação da reta que liga os pontos e . Ou seja:
Então, para aplicar o T.V.M., nossa função precisa ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua em . A raiz quadrada e o valor absoluto são funções contínuas, e a composição delas também é contínua. Portanto, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos ver se é diferenciável no intervalo aberto . A derivada de para pode ser calculada usando a regra da cadeia:
No entanto, quando , a derivada não está definida porque estamos dividindo por zero, já que . Isso significa que a função não é diferenciável em .

Passo 5

Como o T.V.M. exige que a função seja diferenciável em todo o intervalo aberto e vimos que não é diferenciável em , uma das condições do teorema não é satisfeita. Portanto, o Teorema do Valor Médio não se aplica a essa função no intervalo dado.

Passo 6

Para visualizar, vamos pensar no gráfico de . Ele tem a forma de uma “V” suave com o ponto mais baixo em . Esse ponto é onde a derivada não existe, confirmando nossa conclusão de que o T.V.M. não se aplica.

Resposta

Não existe nenhum número no intervalo que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo .

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